证明方程x^5-5x+1=0有且仅有一个小于1的正实根
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发布时间：2022-04-20 08:20
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时间：2023-10-17 13:07
f（x）=x^5-5x+1
f（0）=1；f（1）=-3
又f是连续的，那么f（x）在(0,1)之间至少有一个实根
反设f在(0,1)之间有两个实根s，t
从而f（s）=f（t）=0，s≠t
从而根据罗尔定理 存在p∈(s，t)，f ‘ （p）=0
f ’（x）=5x^4-5=5（x^4 -1）=5（x^2 +1）（x +1）（x-1）
p∈(s，t)包含于（0，1），f ‘ （p）=0即
5（p^2 +1）（p +1）（p-1）=0
显然0<p<1，上式不可能成立，故假设不成立。从而f在(0,1)之间最多一个零点
综上，f（x）在(0,1)之间有且仅有一个实根，也就是
方程x^5-5x+1=0有且仅有一个小于1的正实根
