三角形知识 初二 20个知识点

发布网友 发布时间：2022-04-20 06:46

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三角形的定义
三角形是多边形中边数最少的一种。它的定义是：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形。
三条线段不在同一条直线上的条件，如果三条线段在同一条直线上，我们认为三角形就不存在。另外三条线段必须首尾顺次相接，这说明三角形这个图形一定是封闭的。三角形中有三条边，三个角，三个顶点。
三角形中的主要线段
三角形中的主要线段有：三角形的角平分线、中线和高线。
这三条线段必须在理解和掌握它的定义的基础上，通过作图加以熟练掌握。并且对这三条线段必须明确三点：
（1）三角形的角平分线、中线、高线均是线段，不是直线，也不是射线。
（2）三角形的角平分线、中线、高线都有三条，角平分线、中线，都在三角形内部。而三角形的高线在当△ABC是锐角三角形时，三条高都是在三角形内部，钝角三角形的高线中有两个垂足落在边的延长线上，这两条高在三角形的外部，直角三角形中有两条高恰好是它的两条直角边。
（3）在画三角形的三条角平分线、中线、高时可发现它们都交于一点。在以后我们可以给出具体证明。今后我们把三角形三条角平分线的交点叫做三角形的内心，三条中线的交点叫做三角形的重心，三条高的交点叫做三角形的垂心。
三角形的按边分类
三角形的三条边，有的各不相等，有的有两条边相等，有的三条边都相等。所以三角形按边的相等关系分类如下：
等边三角形是等腰三角形的一种特例。
判定三条边能否构成三角形的依据
△ABC的三边长分别是a、b、c，根据公理“连接两点的所有线中，线段最短”。可知：
③a+b＞c，①a+c＞b，②b+c＞a
定理：三角形任意两边的和大于第三边。
由②、③得 b―a＜c，且b―a＞―c
故|a―b|＜c，同理可得|b―c|＜a，|a―c|＜b。
从而得到推论：
三角形任意两边的差小于第三边。
上述定理和推论实际上是一个问题的两种叙述方法，定理包含了推论，推论也可以代替定理。另外，定理和推论是判定三条线段能否构成三角形的依据。如：三条线段的长分别是5、4、3便能构成三角形，而三条线段的长度分别是5、3、1，就不能构成三角形。
判定三条边能否构成三角形
对于某一条边来说，如一边a，只要满足|b-c|＜a＜b+c，则可构成三角形。这是因为|b-c|＜a，即b-c＜a，且b-c＞-a.也就是a+c＞b且a+b＞c，再加上b+c＞a，便满足任意两边之和大于第三边的条件。反过来，只要a、b、c三条线段满足能构成三角形的条件，则一定有|b-c|＜a＜b+c。
在特殊情况下，如果已知线段a最大，只要满足b+c>a就可判定a、b、c三条线段能够构成三角形。同时如果已知线段a最小，只要满足|b-c|＜a，就能判定三条线段a、b、c构成三角形。
证明三角形的内角和定理
除了课本上给出的证明方法外还有多种证法，这里再介绍两种证法的思路：
方法1 如图，过顶点A作DE‖BC，
运用平行线的性质，可得∠B＝∠2，
∠C＝∠1，从而证得三角形的内角
和等于平角∠DAE。
方法2 如图，在△ABC的边BC上任取
一点D，过D作DE‖AB，DF‖AC，
分别交AC、AB于E、F，再运用平行
线的性质可证得△ABC的内角和等于
平角∠BDC。
三角形按角分类
根据三角形的内角和定理可知，三角形的任一个内角都小于180°，其内角可能都是锐角，也可能有一个直角或一个钝角。
三角形按角可分类如下：
根据三角形的内角和定理可有如下推论：
推论1 直角三角形的两个锐角互余。
推论2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。
推论3 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。
同时我们还很容易得到如下几条结论：
（1）一个三角形最多有一个直角或钝角。
（2）一个三角形至少有两个内角是锐角。
（3）一个三角形至少有一个角等于或小于60°（否则，若三个内角都大于60°；则这个三角形的内角和大于180°，这与定理矛盾）。
(4) 三角形有六个外角，其中两两是对顶角相等，所以三角形的三个外角和等于360°。
全等三角形的性质
全等三角形的两个基本性质
（1）全等三角形的对应边相等。
（2）全等三角形的对应角相等。
确定两个全等三角形的对应边和对应角
怎样根据已知条件准确迅速地找出两个全等三角形的对应边和对应角？其方法主要可归结为：
（1）若两个角相等，这两个角就是对应角，对应角的对边是对应边。
（2）若两条边相等，这两条边就是对应边，对应边的对角是对应角。
（3）两个对应角所夹的边是对应边。
（4）两个对应边所夹的角是对应角。
由全等三角形的定义判定三角形全等
由全等三角形的定义知，要判定两个三角形全等，需要知道三条边，三个角对应相等，但在应用中，利用定义判定两个三角形全等却是十分麻烦的，因而需要找到能完全确定一个三角形的条件，以便用较少的条件，简便的方法来判定两个三角形的全等。
判定两个三角形全等的边、角、边公理
内容：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（即SAS）。
这个判定方法是以公理形式给出的，我们可以通过实践操作去验证它，但验证不等于证明，这点要区分开来。
公理中的题设条件是三个元素：边、角、边，意指两条边和这两条边所夹的角对应相等。不能理解成两边和其中一个角相等。否则，这两个三角形就不一定全等。
例如 在△ABC和△A′B′C′中，
如右图，AB=A′B′，∠A=∠A′，
BC=A′C′，但是△ABC不全等于
△A′B′C′。
又如，右图，在△ABC和△A′B′C′中，AB＝A′B′，∠B=∠B′，AC＝A′C′，但△ABC和△A′B′C′不全等。
原因就在于两边和一角对应相等不是
公理中所要求的两边和这两条边的夹
角对应相等的条件。
说明：从以上两例可以看出，SAS≠SSA。
判定两个三角形全等的第二个公理
内容：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（即ASA）。
这个公理也应该通过画图和实验去进一步理解它。
公理强调了两角和这两角的夹边对应相等，这里实质上包含了一个顺序关系。千万不能理解成为在其中一个三角形中是两角和其夹边，而在另一个三角形中却是两角和其中一角的对边。
如右图，在△ABC和△A′B′C′中，
∠A=∠A′，∠B=∠B′，AB＝A′C′，
但这两个三角形显然不全等。原因就是
没有注意公理中“对应”二字。
公理一中的边、角、边，其顺序是不能改变的，即SAS不能改为SSA或ASS。而ASA
公理却能改变其顺序，可改变为AAS或SAA，但两个三角形之间的“对应”二字不能变。同时这个公理反映出有两个角对应相等，实质上是在两个三角形中有三个角对应相等，故在应用过程中只须注意有一条对应边相等就行了。
由公理二可知，有一个锐角与一条边对应相等的两个直角三角形全等
判定两个三角形全等的边、边、边公理
公理：三条边对应相等的两个三角形全等（即边、边、边公理）。
边、边、边公理在判定两个三角形全等时，其对应边就是相等的两条边。
这个公理告诉我们，只要一个三角形的三边长度确定了，则这个三角形的形状就完全确定了。这就是三角形的稳定性。
判定两个三角形全等
通过以上三个公理的学习，可以知道，在判定两个三角形全等时，无需根据定义去判定两个三角形的三角和三边对应相等，而只需要其中三对条件。
三个角和三条边这六个条件中任取三个条件进行组合。无非有如下情况：
（1）三边对应相等。
（2）两边和一角对应相等。
（3）一边和两角对应相等。
（4）三角对应相等。
HL公理
我们知道，满足边、边、角对应相等的两个三角形不一定全等。
但是，对于两个直角三角形来说，这个结论却一定成立。
斜边、直角边公理：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（简写为HL）。
这个公理的题设实质上也是三个元素对应相等，其本身包含了一个直角相等。这种边、 边、角对应相等的两个三角形全等成立的核心是有一个角是直角的条件。由于直角三角形是一种特殊的三角形，所以过去学过的四种判定方法对于直角三角形照常适用。
角平分线的性质定理和逆定理
性质定理：在角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
逆定理：到一个角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。
点在角平分线上点到这个角的两边距离相等。
用符号语言表示角平分线的性质定理和逆定理
性质定理：
∵P在∠AOB的平分线上
PD⊥OA，PE⊥OB
∴PD＝PE
逆定理：
∵PD＝PE，PD⊥OA，PE⊥OB
∴点P在∠AOB的平分线上。
角平分线定义
如果一条射线把一个角分成两个相等的角，那么这条射线叫做这个角的平分线。
角的平分线是到角两边距离相等的所有点的集合。
三角形角平分线性质
三角形三条平分线交于一点，并且交点到三边距离相等。
互逆命题
在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题，如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。
原命题和逆命题的真假性
每个命题都有逆命题，但原命题是真命题，而它的逆命题不一定是真命题，原命题和逆命题的真假性一般有四种情况：真、假；真、真；假、假；假、真。
互逆定理
如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫做互逆定理，其中一个叫做另一个的逆定理。
每个命题都有逆命题，但不是所有的定理都有逆定理
尺规作图
限定用直尺（没有刻度）和圆规的作图方法叫尺规作图。
基本作图
最基本最常见的尺规作图称之为基本作图，主要有以下几种：
（1）作一个角等于已知角；
（2）平分已知角；
（3）过一点作已知直线的垂线；
（4）作已知线段的垂直平分线；
（5）过直线外一点作已知直线的平行线。
有关概念
有两边相等的三角形称为等腰三角形。
三边都相等的三角形称为等边三角形，又称为正三角形。
有一个直角的等腰三角形称为等腰直角三角形。
等边三角形和等腰直角三角形都是等腰三角形的特例。
等腰三角形的有关概念
等腰三角形中，相等的两边称为腰，另一边称为底边，两腰的夹角称为顶角，底边上的两个角称为底角。
等腰三角形的主要性质
两底角相等。
如图，ΔABC中AB＝AC，取BC中点D，连结AD，
容易证明：ΔABD≌ΔACD，∴∠B＝∠C。
如图，ΔABC中为等边三角形，
那么，由AB＝AC，得∠B＝∠C，
由CA＝CB，得∠A＝∠B，
于是∠A＝∠B＝∠C，但∠A＋∠B＋∠C＝180°，
∴∠A＝∠B＝∠C＝60°
如图，ΔABC中AB＝AC，且AD平分∠BAC，
那么由ΔABD≌ΔACD，
可得BD＝CD，∠ADB＝∠ADC，
但∠ADB＋∠ADC＝180°，
∴∠ADB＝90°，从而AD⊥BC，
由此又可得到另外两个重要推论。
两个重要推论
等腰三角形顶角的平分线垂直且平分底边；
等边三角形各内角相等，且都等于60°。
等腰三角形性质及其推论的另一种论述方法
三角形中，相等的边所对的角相等。
等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线和高三线合而为一。
等腰三角形的判定定理及其两个推论的核心都可概括为等角对等边。它们都是证明两条线段相等的重要方法。
推论3
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
容易证明：这个推论的逆命题也是正确的。即：在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°。
运用
利用等腰三角形的判定定理和性质定理容易证明结论：“在一个三角形内，如果两条边不等，那么它们所对的角也不等，大边所对的角也较大；反过来，在一个三角形中，如果两个角不等，那么它们所对的边也不等，大角所对的边较大。”
对称轴及中心
线段的垂直平分线把线段分为相等的两部分。
线段的中点就是它的中心，今后要学习“线段是关于中点对称的中心图形”。
线段是以它的中垂线为对称轴的图形。
三线合一的定理的逆定理
如图所示，线段中垂线的性质定理的几何语言为：
，
于是可以用来判定等腰三角形，其定理实质上是
三线合一定理的逆定理。
“距离”不同，“心”也不同
“线段垂直平分线的性质定理与逆定理中的“距离”是指“两点间的距离”，而角平分线的性质定理与逆定理中的“距离”是指“点到直线的距离”。
三角形三条角平分线相交于一点，这点到三边的距离相等(这点称为三角形的内心)。

三角形三边的垂直平分线相交于一点，这点到三个顶点的距离相等(这点称为三角形的外心)。

重要的轨迹

图(A）所示。到角的两边OA、OB的距
离相等的点P1、P2，P3…组成一条射
线OP，即点的集合。

如图(B)所示，到线段AB的两端点的距离
相等的所有点P1、P2、P3…组成一条直
线P1P2，因此这条直线可以看成动点形
成的“轨迹”。

第十三节轴线称和轴对称图形

轴对称

把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么这两个图形叫做关于这条直线对称，也称轴对称。

根据定义，两个图形和如果关于直线l轴对称，则：
（1）和这两个图形的大小及形状完全相同。
（2）把其中一个图形沿l翻折后，和应完全重合，自然两个图形中的有关对应点也应重合。

事实上，直线l是两个轴对称图形中对应点连线的垂直平分线。所以容易得到如下性质：
性质1 关于某条直线对称的两个图形是全等形。
性质2 如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线。
性质3 两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点必在对称轴上。

不难看出，如果两个图形的对应点的连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称。

轴对称图形

如果一个图形沿着一条直线翻折，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形就叫做轴对称图形。

轴对称和轴对称图形的区别和联系

区别

①轴对称是指两个图形关于某条直线对称，而轴对称图形是一个图形关于某条直线对称。

②轴对称的对应点分别在两个图形上，而轴对称图形中的对应点都在这一个图形上。

③轴对称中的对称轴可能在两个图形的外边，而轴对称图形中的对称轴一定过这个图形。

联系

①都是沿着某一条直线翻折后两边能够完全重合。

②如果把轴对称的两个图形看成是一个整体，那么这个整体反映出的图形便是一个
轴对称图形；反过来，如果把一个轴对称图形中关于对称轴的两边部分看成是两个
图形，那么这两部分对应的两个图形则关于这条对称轴而成轴对称。

第十四节 勾股定理

直角三角形

直角三角形中，两锐角互余，夹直角的两边叫直角边，直角的对边叫斜边，斜边最长。

等腰直角三角形

等腰直角三角形是直角三角形中的特例。也是等腰三角形中的特例。等腰直角三角形的两个底角都等于45°，顶角等于90°，相等的两条直角边是腰。

勾股定理

直角三角形中，两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方，即，这就是勾股定理。

判定直角三角形

如果ΔABC的三边长为a、b、c，且满足，那么ΔABC是直角三角形，其中∠C＝90°。

第十五节勾股定理的逆定理

勾股定理的逆定理

勾股定理是直角三角形的性质定理，而勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理。即：在△ABC中，若a2＋b2＝c2，则△ABC为Rt△。

如何判定一个三角形是否是直角三角形

首先求出最大边（如c）。

验证c2与a2＋b2是否具有相等关系。
若c2＝a2＋b2，则△ABC是以∠C＝90°的直角三角形。若c2≠a2＋b2，则△ABC不是直角三角形。

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*****攻关秘技****

方法1： 证明“文字叙述的

几何命题”的方法

这类题目证明起来较一般几何题要难，但还是有一定的思路和方法，一般先对题目进行总体分析，分析内容大致分为以下四点，然后逐步解决。
（1）分析命题的题设和结论；
（2）结合题设和结论画出图形；
（3）综合题设结论和图形写出已知、求证；
（4）进行证题分析。

方法2： 等腰三角形的边角求值法

在解等腰三角形的边角求值题时，应考虑到各种可能的情况，还要排除不能构成三角形的情形。特别在解决线段或角的和差倍半关系时，常利用合成法或分解法，借助添加辅助线来完成。

方法3： 判定一个三角形是

直角三角形的方法

判定一个直角三角形可利用勾股定理的逆定理、线段的垂直平分线性质或直角三角形的定义等，这些方法都要求掌握并能灵活运用。

方法4： 作图题

几何作图题的每一步都必须有根有据，所以就要求我们掌握好已学过的公理、定理等。要掌握好尺规作图，还要多画多练。

知识点： 全等三角形的判定与性质

方 法： 分析法

能 力： 分析与解决问题的能力

难 度： 中等

知识点： 全等三角形；角平分线

方 法： 合成法；分解法

能 力： 分析与解决问题的能力；

逻辑推理能力

难 度： 中等偏难

知识点： 等腰直角三角形的性质；

线段的垂直平分线性质；勾股定理

方 法： 综合法

能 力： 分析与解决问题的能力

难 度： 中等偏难

知识点： 线段的性质

方 法： 数形结合法

能 力： 空间想象能力；

分析与解决问题的能力

难 度： 中等偏难

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%%%%%%热点追踪%%%%%
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专题1： 一题多问、一题多图和多题一解

提高分析问题和解决问题能力的方法是多种多样的，而认真的设计课本中例题、习题的变式，挖掘其潜能也是方法之一。课本中的例题、习题为中考命题提供了丰富的源泉，它们具有丰富的内涵，在由知识转化为能力上具有示范性和启发性，在解题思路和方法上具有典型性和代表性。如果我们不以得到解答为满足，而是在解完之后，深入其中作进一步的挖掘和多方位探索，不仅可得到一系列的新命题，也可从“题海”中解脱出来，达到事半功倍的效果。而且通过不同角度、不同方位去思考问题，探索不同的解答方案，从而拓宽了思路，培养了思维的灵活性和应变能力。

专题2： 利用扩、剖、串、改提高解题能力
学习几何时，感到例题好学易懂，但对稍加变化拓宽引申的问题束手无策，原因是把例题的学习看成是孤立的学一道题，学完就了事，致使解题时缺乏应变能力，但如果平时能重视对题目的扩充、剖解、串联和改编，就能较好地解决这一问题。
1．扩充：将原题条件拓展，使结论更加丰富充分。
2．剖解：分析原题，将较复杂的图形肢解为若干个基本图形，使问题化隐为显。
3．串联：由例题的形式（条件、结论等），联想与它相似、相近、相反的问题。
4．改编：改变原题的条件形式，探索结论是否成立？
专题3： 分析、综合、辅助线
我们研究不等式的有关问题时，会发现很多巧妙的方法，还会不断学习掌握类比的数学思想，形数结合的思想，从未知向已知转化的化归思想，通过研究这些不断变化的问题，全面把握不等式及不等式组的解法，从而提高我们分析问题、解决问题的能力。
专题4： 不等式的若干应用
在平面几何里，证题思路主要有：（1）分析法，即从结论入手，逐步逆推，直至达到已知事实后为止。（2）综合法，先从已知条件入手，运用已学过的公式、定理、性质等推出证明的结论。（3）两头凑，就是将综合法和分析法有机地结合起来思考：一方面“从已知推可知”，从已知看可以推出哪些结论；另一方面“由未知看需知”，从所求结论逆推看需要什么条件，一旦可知与需知沟通，证题思路即有了。添加辅助线是证明几何题的重要手段，也是学习中的难点之一。
专题5： 几何证题的基本方法有两种：
一种是从条件出发，通过一系列已确立的命题逐步向前推演，直到达到证题目的，简言之，这是由因导果的方法，我们称之为直接证法或综合法，综合法证题的程序如下：欲证AB，由于AC，CD，…，x，而xB，故AB.
另一种则反过来，先假定命题的结论成立，考虑达到目的需具备什么条件，通过一系列的逆推直到回朔到已知条件为止。简言之，这是执果索因的方法，我们称之为分析法，分析法证题的程序如下：欲证“AB”，也就是BA，若能分析出BC，CD，…，x，而xA，则断言BA，也就是AB。
在实际操作上，往往把这两种方法结合起来，先分析探求铺路，再综合解题成功，简言之就是“倒着推，顺着走”。
—平移、旋转、对称
在几何证题中，常需要将一个图形进行适当的变换，常见的几何变换有全等变换，等积变换和相似变换。
本章只讲全等变换，也就是不改变图形的形状和大小，只改变图形位置的变换。
常见的全等变换的形式有三：
1．平移：将图形中的某些线段乃至整个图形平行移动到某一适当位置，作出辅助图形，使问题得
到解决。平移的基本特点是：任一线段在平移过
程中，其长度保持不变。
2．旋转：将平面图形绕平面内一定点M旋转一个定角α得到与原来形状和大小相同的图形，这样
的变换叫做旋转变换，M叫旋转中心，α角叫旋
转角。
旋转变换的主要性质：（1）变换后的图形与原图形全等；（2）原图中任一线段与旋转后的对应线段所成的角等于旋转角。
3．对称：将一个图形（或它的一部分）绕着一条直线翻转180°，得一个与原来形状、大小完全相同的图形，这种变换称为轴对称变换，轴对称变换的主要特点是：对称轴是一切翻转前后对应点连线的垂直平分线。
除轴对称外，还有中心对称，这一点我们将在下一章四边形中讲到。
方法总结：
复杂的图形都是由较简单的基本图形组成，故可将复杂的图形分解成几个基本图形这样使问题显而易见。
当直接证题有困难时，常通过添加辅助线构造基本图形以达到解题的目的。
综合法是从已知条件出发探索解题途径的方法。
分析法是从结论出发，用倒推来寻找证明思路的方法。
两头“凑”的方法，也就是综合运用以上两种方法才能找到证明思路。（又叫分析――综合法）。
转化思想就是将复杂问题转化、分解为简单的问题；或将陌生的问题转化为熟悉的问题来处理的一种思想。
祝你学习进步