用棣美弗定理证明 cos5x=16cosx^5-20cosx^3+5cosx

发布网友 发布时间：2022-04-20 11:44

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热心网友 时间：2023-08-26 05:22

设z=cosx+isinx，则
z^5=(cos5x+isin5x)=(cosx+isinx)^5
右端二项式展开，得
(cosx+isinx)^5=∑C(5,k)*(cosx)^(5-k)*(isinx)^k
=(cosx)^5+5(cosx)^4(isinx)+10(cosx)^3(isinx)^2
+10(cosx)^2(isinx)^3+5(cosx)(isinx)^4+(isinx)^5
=[(cosx)^5-10(cosx)^3(sinx)^2+5(cosx)(sinx)^4]
+i[5(cosx)^4(sinx)-10(cosx)^2(sinx)^3+(sinx)^5]
取左右两端实部相等，可得
cos5x=(cosx)^5-10(cosx)^3(sinx)^2+5(cosx)(sinx)^4
=(cosx)^5-10(cosx)^3(1-(cosx)^2)+5(cosx)(1-(cosx)^2)^2
=(cosx)^5-10(cosx)^3+10(cosx)^5+5(cosx)(1-2(cosx)^2+(cosx)^4)
=(cosx)^5-10(cosx)^3+10(cosx)^5+5(cosx)-10(cosx)^3+5(cosx)^5
=16(cosx)^5-20(cosx)^3+5(cosx)
即cos5x=16(cosx)^5-20(cosx)^3+5(cosx)，得证