什么类型的因式分解要用待定系数

发布网友 发布时间：2022-04-19 15:45

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热心网友 时间：2023-07-08 04:38

首先要明确的是，若要用待定系数法，则必须知道 待分解的式子分解后是什么样子。

1）比如 用待定系数法 分解 有两个字母的二次多项式，且多项式中含有一次项和常数项【如x²-3xy+2y²+x-2】，就要知道 它能分解为 (ax+by+c)(dx+ey+f)

就以分解x²-3xy+2y²+x-2来说

因为 x²-3xy+2y²=(x-y)(x-2y)

所以设 x²-3xy+2y²+x-2=(x-y+a)(x-2y+b)
=x²-3xy+2y²+ax-2ay+bx-by+ab
=x²-3xy+2y²+(a+b)x-(2a+b)y+ab

比较系数，得a+b=1, -(2a+b)=0, ab=-2
解得 a=-1，b=2

所以 x²-3xy+2y²+x-2=(x-y-1)(x-2y+2)

其实 待定系数法是把 分解因式 转换成了 解方程，是我们能顺利解决问题。

2）还比如说 含有多个字母的对称多项式或轮换多项式【如(a-b)^5+(b-c)^5+(c-a)^5】，就要用因式定理和待定系数法联合求解。

【因式定理：
如果x=a时，多项式 b•x^n+c•x^(n-1)+d•x^(n-2)+……+mx+n的值为0，那么(x-a)是该多项式的一个因式。

当然 含有多个字母的式子 也同样成立

对称多项式：
一个多元多项式，如果把其中任何两个元互换，所得的结果都与原式相同，则称此多项式是关于这些元的对称多项式

轮换对称多项式：
一个含有多个字母的多项式，把其中所含的字母按一定顺序（一般按字母表的前后顺序）排列后，把第一个字母换成第二个字母，把第二个字母换成第三个字母，以此类推，并把最后一个字母换成第一个字母，如果得到的多项式与原来多项式相同，那么这个多项式就是
轮换对称多项式

比如(a-b)^5+(b-c)^5+(c-a)^5，按a，b，c顺序轮换变成(b-c)^5+(c-a)^5+(a-b)^5，仍与原多项式相同，所以(a-b)^5+(b-c)^5+(c-a)^5是轮换对称多项式】

解：(a-b)^5+(b-c)^5+(c-a)^5
把a=b代入得 0^5+(a-c)^5+(c-a)^5=0
所以 a-b是(a-b)^5+(b-c)^5+(c-a)^5 的一个因式
因为 (a-b)^5+(b-c)^5+(c-a)^5 是轮换对称多项式
所以 b-c, c-a也是(a-b)^5+(b-c)^5+(c-a)^5的因式

因为 (a-b)^5+(b-c)^5+(c-a)^5 是轮换对称多项式

根据其特点，设(a-b)^5+(b-c)^5+(c-a)^5 =(a-b)(b-c)(c-a)[k(a²+b²+c²)+m(ab+bc+ac)]

令 a=1，b=0，c=-1代入
得 (1-0)^5+[0-(-1)]^5+(-1-1)^5=(1-0)×[0-(-1)]×(-1-1)×(2k-m)
即 -30= -2（2k-m）
2k-m=15……①

令 a=2，b=1，c=0代入
(2-1)^5+(1-0)^5+(0-2)^5=(2-1)×(1-0)×(0-2)×(5k+2m)
-30=-2(5k+2m)
5k+2m=15……②

联立①，②解得，k=5，m=-5
所以 (a-b)^5+(b-c)^5+(c-a)^5 =(a-b)(b-c)(c-a)[5(a²+b²+c²)-5(ab+bc+ac)]
=5(a-b)(b-c)(c-a)（a²+b²+c²-ab-bc-ac)

3）还比如说 含有一个字母的高次多项式,一般知道其中一个因式【如x³+6x²+11x+6，已知x+a是其一个因数】
就可设x³+6x²+11x+6=(x+a)(bx²+cx+d)
=bx³+cx²+dx+abx²+acx+ad
=bx³+(ab+c)x²+(ac+d)x+ad

通过比较系数得，b=1……①，ab+c=6……②，ac+d=11……③，ad=6……④
再通过 解这个方程组 得到a，b，c，d，e的值，从而因式分解

总结一下吧：
1）用待定系数法的前提：知道 待分解的式子 分解后的形式
2）用待定系数法的时机：当用常规的方法（分组、拆项、添项）难以因式分解时
3）用待定系数法的类型：
1.有两个字母的二次多项式，且多项式中含有一次项和常数项【如x²-3xy+2y²+x-2】
2.含有多个字母的对称多项式或轮换多项式【如(a-b)^5+(b-c)^5+(c-a)^5】
3.含有一个字母的高次多项式,一般知道其中一个因式【如x³+6x²+11x+6，已知x+a是其一个因数】
4）待定系数法的实质：将因式分解转换为方程问题。

【可能我有点罗嗦，讲了一大堆不相关的东西，但是我希望你能喜欢我的回答，谢谢】

热心网友 时间：2023-07-08 04:38

多是3次或者4次
设为两个二次或是一个二次一个一次的式子相乘