...其左焦点到点 的距离为 .(1) 求椭圆 的标准方程;(2) 若直线 与椭...

发布网友 发布时间：2024-10-23 22:31

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热心网友 时间：2024-11-04 01:37

椭圆 的离心率为 ，其左焦点到点 的距离为 ．
(1) 求椭圆 的标准方程；
(2) 若直线 与椭圆 相交于 两点( 不是左右顶点)，且以 为直径的圆过椭圆 的右顶点，求证：直线 过定点，并求出该定点的坐标．
（1） ；（2）证明详见解析， .

试题分析：本题主要考查椭圆的标准方程及其几何性质、直线与椭圆相交问题等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问，利用椭圆的离心率和左焦点到点P的距离列出方程组，解出基本量a，b，c，从而得到椭圆的标准方程；第二问，用直线与椭圆联立，消参得到关于x的方程，利用韦达定理得到 和 ，由于AB为直径的圆过椭圆右顶点 A 2 (2,0) ，所以 ，利用向量的数量积的运算公式，将前面的式子都代入，得到  或 m = －2k，经验证都符合题意，则分别求出定点坐标，再验证，最终得到结论.
试题解析：（1）由题：  ①
左焦点 (－c,0) 到点 P(2,1) 的距离为： ②               2分
由①②可解得c =" 1" ， a =" 2" ， b 2 = a 2 －c 2 = 3．                               3分   
∴所求椭圆 C 的方程为 ．               4分
（2）设 A(x 1 ,y 1 )、B(x 2 ,y 2 )，将 y =" kx" + m代入椭圆方程得
(4k 2 + 3) x 2 + 8kmx + 4m 2 －12 = 0．
∴ ， ，           6分
且y 1 = kx 1 + m，y 2 = kx 2 + m．
∵AB为直径的圆过椭圆右顶点 A 2 (2,0) ，所以 ．              7分
所以 (x 1 －2,y 1 )·(x 2 －2,y 2 ) = (x 1 －2) (x 2 －2) + y 1 y 2 = (x 1 －2) (x 2 －2) + (kx 1 + m) (kx 2 + m)
= (k 2 + 1) x 1 x 2 + (km－2) (x 1 + x 2 ) + m 2 + 4
= (k 2 + 1)· －(km－2)· + m 2 + 4 =" 0" ．                        10分
整理得 7m 2 + 16km + 4k 2 = 0．∴  或 m = －2k 都满足 △ > 0．         12分
若 m = －2k 时，直线 l 为 y = kx－2k =" k" (x－2) ，恒过定点 A 2 (2,0)，不合题意舍去；   13分
若 时，直线 l 为 ， 恒过定点   ．          14分

热心网友 时间：2024-11-04 01:37

椭圆 的离心率为 ，其左焦点到点 的距离为 ．
(1) 求椭圆 的标准方程；
(2) 若直线 与椭圆 相交于 两点( 不是左右顶点)，且以 为直径的圆过椭圆 的右顶点，求证：直线 过定点，并求出该定点的坐标．
（1） ；（2）证明详见解析， .

试题分析：本题主要考查椭圆的标准方程及其几何性质、直线与椭圆相交问题等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问，利用椭圆的离心率和左焦点到点P的距离列出方程组，解出基本量a，b，c，从而得到椭圆的标准方程；第二问，用直线与椭圆联立，消参得到关于x的方程，利用韦达定理得到 和 ，由于AB为直径的圆过椭圆右顶点 A 2 (2,0) ，所以 ，利用向量的数量积的运算公式，将前面的式子都代入，得到  或 m = －2k，经验证都符合题意，则分别求出定点坐标，再验证，最终得到结论.
试题解析：（1）由题：  ①
左焦点 (－c,0) 到点 P(2,1) 的距离为： ②               2分
由①②可解得c =" 1" ， a =" 2" ， b 2 = a 2 －c 2 = 3．                               3分   
∴所求椭圆 C 的方程为 ．               4分
（2）设 A(x 1 ,y 1 )、B(x 2 ,y 2 )，将 y =" kx" + m代入椭圆方程得
(4k 2 + 3) x 2 + 8kmx + 4m 2 －12 = 0．
∴ ， ，           6分
且y 1 = kx 1 + m，y 2 = kx 2 + m．
∵AB为直径的圆过椭圆右顶点 A 2 (2,0) ，所以 ．              7分
所以 (x 1 －2,y 1 )·(x 2 －2,y 2 ) = (x 1 －2) (x 2 －2) + y 1 y 2 = (x 1 －2) (x 2 －2) + (kx 1 + m) (kx 2 + m)
= (k 2 + 1) x 1 x 2 + (km－2) (x 1 + x 2 ) + m 2 + 4
= (k 2 + 1)· －(km－2)· + m 2 + 4 =" 0" ．                        10分
整理得 7m 2 + 16km + 4k 2 = 0．∴  或 m = －2k 都满足 △ > 0．         12分
若 m = －2k 时，直线 l 为 y = kx－2k =" k" (x－2) ，恒过定点 A 2 (2,0)，不合题意舍去；   13分
若 时，直线 l 为 ， 恒过定点   ．          14分

热心网友 时间：2024-11-04 01:40

椭圆 的离心率为 ，其左焦点到点 的距离为 ．
(1) 求椭圆 的标准方程；
(2) 若直线 与椭圆 相交于 两点( 不是左右顶点)，且以 为直径的圆过椭圆 的右顶点，求证：直线 过定点，并求出该定点的坐标．
（1） ；（2）证明详见解析， .

试题分析：本题主要考查椭圆的标准方程及其几何性质、直线与椭圆相交问题等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问，利用椭圆的离心率和左焦点到点P的距离列出方程组，解出基本量a，b，c，从而得到椭圆的标准方程；第二问，用直线与椭圆联立，消参得到关于x的方程，利用韦达定理得到 和 ，由于AB为直径的圆过椭圆右顶点 A 2 (2,0) ，所以 ，利用向量的数量积的运算公式，将前面的式子都代入，得到  或 m = －2k，经验证都符合题意，则分别求出定点坐标，再验证，最终得到结论.
试题解析：（1）由题：  ①
左焦点 (－c,0) 到点 P(2,1) 的距离为： ②               2分
由①②可解得c =" 1" ， a =" 2" ， b 2 = a 2 －c 2 = 3．                               3分   
∴所求椭圆 C 的方程为 ．               4分
（2）设 A(x 1 ,y 1 )、B(x 2 ,y 2 )，将 y =" kx" + m代入椭圆方程得
(4k 2 + 3) x 2 + 8kmx + 4m 2 －12 = 0．
∴ ， ，           6分
且y 1 = kx 1 + m，y 2 = kx 2 + m．
∵AB为直径的圆过椭圆右顶点 A 2 (2,0) ，所以 ．              7分
所以 (x 1 －2,y 1 )·(x 2 －2,y 2 ) = (x 1 －2) (x 2 －2) + y 1 y 2 = (x 1 －2) (x 2 －2) + (kx 1 + m) (kx 2 + m)
= (k 2 + 1) x 1 x 2 + (km－2) (x 1 + x 2 ) + m 2 + 4
= (k 2 + 1)· －(km－2)· + m 2 + 4 =" 0" ．                        10分
整理得 7m 2 + 16km + 4k 2 = 0．∴  或 m = －2k 都满足 △ > 0．         12分
若 m = －2k 时，直线 l 为 y = kx－2k =" k" (x－2) ，恒过定点 A 2 (2,0)，不合题意舍去；   13分
若 时，直线 l 为 ， 恒过定点   ．          14分