aa的转置的秩为什么等于a的秩

发布网友 发布时间：2024-10-23 22:58

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热心网友 时间：14小时前

由于A乘以A的秩等于A的秩，这意味着任意矩阵的转置矩阵的秩与原矩阵的秩相同。

矩阵A的秩等于A的行秩和列秩，A的转置矩阵A^T是通过交换A的行和列得到的，因此r(A)等于r(A^T)。矩阵的列秩和行秩总是相等的，这使得它们可以简单地称为矩阵A的秩，通常表示为rk(A)或rank A。

假设A为m*n的矩阵。那么对于AX=0，其解集肯定是AT*AX=0的解集的一部分。进一步地，如果在AT*AX=0两边同时乘以XT，且满足矩阵乘法规则，即确保XT与AT相乘后的矩阵行数与AX相乘后的矩阵列数相同。

通过这一操作，可以将AT*AX=0转换为(AX)T*AX=0的形式，这意味着AX=0，从而确认AT*AX=0的解集也是AX=0的解集的一部分。

由于两个方程有相同的解，因此可以得出n-r(ATA)=n-r(A)。由此可知，r(ATA)=r(A)。

通过上述分析可以看出，矩阵A的转置矩阵A^T的秩与A的秩相等。这是因为A^T通过行列互换得到了A，而这种互换不会改变矩阵的秩。进一步地，通过对AX=0和AT*AX=0的解集进行比较，我们可以得出r(A^T)=r(A)。

总结来说，A的转置矩阵A^T的秩与A的秩相等，这是因为A和A^T具有相同的解集，且矩阵的秩反映了其线性无关行或列的数量。因此，无论矩阵如何转换，其秩保持不变。