已知函数f(x)=1+lg(x-1),x>1g(x),x<1的图象关于点P对称,..._百度知 ...

发布网友 发布时间：2024-10-23 15:17

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解：∵函数y=f（x+1）-1为奇函数，
∴f（-x+1）-1=-[f（x+1）-1]，即f（1+x）+f（1-x）=2，
可得y=f（x）的图象关于点P（1，1）对称，故①正确；
∵f（1+x）+f（1-x）=2，得f（x）=2-f（2-x）
∴当x＜1时，f（x）=g（x）=2-[1+lg（1-x）]=1-lg（1-x）
因此当x∈（-∞，0）时，lg（1-x）＞lg1=0，可得g（x）＜1
所以g（x）＞0不能恒成立，故②不正确；
由以上的分析可得：f（x）=1+lg(x-1)，x＞11-lg(1-x)，x＜1，
结合对数函数图象与性质可得：函数y=f（x）在（1，+∞）上为增函数，在（-∞，1）上为增函数，
函数y=f（x）的图象以x=1为渐近线，且在渐近线的两侧y的取值都是（-∞，+∞），
关于x的方程f（x）=a，a∈R有且只有两个实根，故③正确．
综上所述，正确的选项是①，③．
故答案为：①③