矩阵A的特征值是否唯一

发布网友 发布时间：2024-10-23 15:14

我来回答

共1个回答

热心网友 时间：2024-10-24 03:05

(ATA)T=AT(AT)T=ATA
所以ATA为对称矩阵
用定义证明：当 X≠0时总有XTATAX>0
令A=(aij) 1<=i<=n 1<=j<=n x=(x1……xn)T
那么AX=(a11x1+a12x2……+a1nxn，……，an1x1+……annxn)T
那么(AX)T=(a11x1+a12x2……+a1nxn，……，an1x1+……annxn)
所以XTATAX=(AX)TAX
=(a11x1+a12x2……+a1nxn，……，an1x1+……annxn)*(a11x1+a12x2……+a1nxn，……，an1x1+……annxn)T
=(a11x1……+a1nxn)^2+……+(an1x1+……annxn)^2>=0
然后若等号成立，那么
a11x1……+a1nxn=0
a21x1……+a2nxn=0
……
an1x1+……annxn=0
也就是AX=0，那么A可逆，所以X=0，与X不等于0矛盾
所以当 X≠0时总有XTATAX>0