一道线代题求助已知向量组a1,a2,……am线性无关,而b1=a1+a2,b2=...

发布网友 发布时间：2024-10-23 17:14

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热心网友 时间：5分钟前

传统解法设
k1b2+k2b2+...+kmbm=0.则
k1(a1+a2)+k2(a2+a3)+...+km(am+a1)=0即
(k1+km)a1+(k1+k2)a2+...+(km-1+km)am=0因为
a1,a2,...,am
线性无关所以
k1+km=0k1+k2=0...km-1+km=0因为系数行列式
=1
0
0...0
11
1
0...0
00
1
1...0
0......0
0
0...1
1=
1+(-1)^t(m12...m-1)=
1+(-1)^(m-1)所以
m为奇数时,系数行列式=2,方程组只有零解即
k1=k2=...=km=0.故此时向量组
b1,b2,...,bm
线性无关.当m为偶数时,系数行列式=0,方程组有非零解.此时向量组
b1,b2,...,bm
线性相关.