如图,已知矩形ABCD,AB=3,BC=3,在BC上取两点E,F(E在F左边),以EF为边作...

发布网友 发布时间：2024-10-23 17:25

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热心网友 时间：2024-10-29 14:49

解答：解：（1）过P作PQ⊥BC于Q（1分）
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠B=90°，即AB⊥BC，又AD∥BC，
∴PQ＝AB＝3，
∵△PEF是等边三角形，
∴∠PEQ=60°，
在Rt△PEQ中，sin60°＝3PE，（2分）
∴PE=2，
∴△PEF的边长为2．　（1分）

（2）在Rt△ABC中，
∵tan∠ACB=ABBC＝33，
∴∠ACB=30°（1分）
∵∠PEQ=60°，
∴∠EGC=90°，∠PGH=90°，（1分）
又∵△PEF是等边三角形，
∴∠GEC=∠GPH，
∴cot∠GEC=cot∠GPH，（2分）
∴PGGH＝EGGC，（1分）

（3）猜想：PH与BE的数量关系是：PH-BE=1（1分）
证法1：如图，由（2），知∠1=30°
∵△PEF是等边三角形
∴∠PFE=60°，PF=EF=2，
∵∠PFE=∠FHC+∠FCH，
在直角三角形ABC中，
∠EGC=90°，∠EPF=60°，
∴∠FHC=30°（1分）
∴∠FHC=∠FCH，
∴FC=FH（1分）
∵PH+FH=2，BE+EF+FC=3（2分）
∴PH-BE=1
证法2：由（2），知∠FCH=30°，∠EGC=90°，
∴在Rt△CEG中，EG＝12EC，即EG＝12(3?BE)（2分）
∵在Rt△PGH中，∠7=30°
∴PG＝12PH
∴PE＝EG+PG＝12(3?BE)+12PH＝2（2分）
∴PH-BE=1
证法3：可证：∠PEF=∠EPF=60°∠EGC=∠PGC=90°，
∴△EGC∽△PGH
∴PHEC＝PGEG
∴PH3?BE＝2?EGEG①（2分）
∵∠ACB=∠ACB，∠B=∠EGC=90°，
∴△CEG∽△CAB，
∴EGAB＝ECAC，即EG3＝3?BE23，
∴EG＝12(3?BE)②（2分）
把②代入①得，PH3?BE＝2?12(3?BE)12(3?BE)，
∴PH-BE=1．