|a-b|表示在数轴上点a到点b的距离,求|X-1|+|X-2|+|X-3|+...+|X-200...

发布网友 发布时间：2024-10-23 23:46

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热心网友 时间：2024-11-01 11:12

将其排列如下:
|x-1| + | x-2007|
+ |x-2| + | x-2006|
+ ...
+ |x-1003| + | x-1005|
+ |x-1004|

我们把第一列叫左边, 第二列叫右边. 可见, 当x=1004时, 两边均衡, 值为 2(1+2+3+...+1003) = 1007012

当x偏离1004, 无论是往上偏离还是往下偏离, 我们都把绝对值为0的那项在最底下做为中点,两边不均衡的分成两列, 跟刚才均衡排列进行比较, 其效果是一边减少若干个小于1003的数但同时另外一边增加同样个数的大于1003的数, 从而导致和值增大, 而且偏离越多和值越大.

所以1007012 即为所求最小值.

考虑|x-0|+|x-2007|的最小值
按分段函数考虑,最小值为2007-0=2007,0≤x≤2007时取得
考虑|x-1|+|x-2006|的最小值
按分段函数考虑,最小值为2006-1=2005,1≤x≤2006时取得
考虑|x-0|+|x-2005|的最小值
按分段函数考虑,最小值为2005-2=2003,1≤x≤2005时取得
....
考虑|x-1003|+|x-1004|的最小值
按分段函数考虑,最小值为1004-1003=1,1003≤x≤1004时取得
所以
最小值为1+3+5+....+2007=1004^2