cos3x与sin2x最小正周期的最小公倍数?

发布网友 发布时间：2024-10-23 20:39

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热心网友 时间：2分钟前

这是我网上找到的，参考一下吧：
因为cos3x的最小正周期为2π/3
sin2x的最小正周期为π
它们的最小正周期的最小公倍数为2π.
所以2π是函数y=cos3x+sin2x的一个周期
下面用反证法证明2π是最小正周期
假设函数f(x)=cos3x+sin2x还有比2π更小的正周期t
即0<t<2π（t为常数）
使得f(x+t)=f(x)对一切实数x都成立
即cos[3(x+t)]+sin[2(x+t)]=cos3x+sin2x
取x=0，得cos3t+sin2t=1
取x=π，得-cos3t+sin2t=-1
联立解得sin2t=0，cos3t=1
由sin2t=0且0<2t<4π得2t=π,2π,3π
即t=π/2,π,3π/2
由cos3t=1且0<3t<6π得3t=2π,4π
即t=2π/3,4π/3
故显然不可能同时成立
这说明假设是错误的
所以,函数f(x)=cos3x+sin2x没有比2π更小的正周期
于是函数f(x)=cos3x+sin2x最小正周期为2π