...an)^T(n>=2)为非零向量,A=αα^T. 求可逆矩阵P使得P^-1AP...

发布网友 发布时间：2024-10-24 05:31

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热心网友 时间：4分钟前

为了记号简便,
用α'表示α的转置.
向量α可视为1×n矩阵,
而α'是n×1矩阵.
由矩阵乘法的结合律,
有a²
=
(α'α)(α'α)
=
α'(αα')α.
而α‘α是1×1矩阵,
也就是一个常数,
设b
=
αα'.
则a²
=
α'(αα')α
=
bα'α
=
ba.
由此不难得到,
对任意正整数k,
成立a^k
=
b^(k-1)·a.
由α
≠
0,
有r(α)
=
1,
故线性方程组αx
=
0的基础解系有n-1个向量.
易见它们都满足ax
=
α'αx
=
0,
即为a的属于特征值0的特征向量.
另一方面,
aα'
=
(α'α)α'
=
α'(αα')
=
bα',
故α'(≠
0)为a的属于特征值b的特征向量.
且由b
=
a1²+a2²+...+an²
≠
0,
α'与属于特征值0的特征向量线性无关.
于是由αx
=
0的基础解系和α'为列向量组成的矩阵p可逆,
并使得p^(-1)ap为对角阵.
根据上述结果,
a的全部特征值为0
(n-1重)和b.
因此a的特征多项式|λe-a|
=
(λ-b)λ^(n-1).

热心网友 时间：6分钟前

与a正交的n-1个归一的向量为b2,b3,,,,bn
Abi=0bi
Aa=aaTa=|a|^2a
得到A的n个特征值和n个特征向量
可以对角化为
P=(a,b2,,,,,bn)
AP=Pdiag(|a|^2,0,0,0,,,,,0)