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发布时间：2024-10-24 04:37
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时间：2024-10-24 07:42
哈密顿力学中，二次型是重要特例，哈密顿量的表达式如下，其中是纤维上的余度量。这个哈密顿量由动能项组成，若考虑黎曼流形或伪黎曼流形，其上存在可逆且非退化的度量，余度量可由该度量的逆给出。哈密顿-雅可比方程的解对应流形上的测地线，特别地，哈密顿流与测地流一致。存在性和完备性在测地线条目中有详细讨论。
当余度量退化，即不是可逆时，流形不是黎曼流形，因为它缺乏度量。在这种情况下，哈密顿量仍然存在。余度量在每点退化，因此阶小于流形的维度，称为亚黎曼流形。这种哈密顿量称为亚黎曼哈密顿量。每个亚黎曼流形由其亚黎曼哈密顿量唯一决定，且每个亚黎曼流形有唯一对应的亚黎曼哈密顿量。Chow-Rashevskii定理给出了亚黎曼测地线的存在性。
连续实值海森堡群提供了亚黎曼流形的例子。对于海森堡群，哈密顿量为，但没有涉及到。哈密顿量与海森堡群的结构相匹配，体现了一种特殊的哈密顿系统。
哈密尔顿力学是哈密尔顿于1833年建立的经典力学的重新表述。它由拉格朗日力学演变而来，那是经典力学的另一表述，由拉格朗日于1788年建立。但它可以使用辛空间不依赖于拉格朗日力学表述。关于这点请参看其数学表述。