已知a+b+c,b+c-a,c+a-b成等比数列,且公比为q,求证q三次方+q²+q=1...
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发布时间:2024-10-24 07:23
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时间:2024-10-25 14:54
若a+b+c,b+c-a,c+a-b,a+b-c成等比数列,且公比为q,求证q三次方+q²+q=1,q=a/c
【证明】
因为a+b+c,b+c-a,c+a-b,a+b-c成等比数列,公比为q
则有:(b+c-a)/(a+b+c)=q
(c+a-b)/(a+b+c)=q^2
(a+b-c)/(a+b+c)=q^3
将以上三式相加,得:q+q^2+q^3={(b+c-a)+(c+a-b)+(a+b-c)}/(a+b+c)=(a+b+c)/(a+b+c)=1
所以:q+q^2+q^3=1
因为a+b+c,b+c-a,c+a-b,a+b-c成等比数列,公比为q
所以(c+a-b)/(b+c-a)=q, (a+b-c)/(c+a-b)=q
∴q=[(c+a-b)+ (a+b-c)]/[(b+c-a) +(c+a-b)]=2a/(2c)=a/c.