...求Y=g(x)的概率密度函数(1) XU(0,1) , Y=-2lnX ?

发布网友 发布时间：2024-10-24 13:14

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热心网友 时间：6分钟前

根据概率密度函数的变量代换公式，对于连续型随机变量 $X$ 和光滑函数 $g(x)$，若 $Y=g(X)$，则：

$$ f_Y(y) = f_X(g^{-1}(y)) \left| \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}y} g^{-1}(y) \right| $$

其中，$g^{-1}(y)$ 是方程 $Y=g(X)$ 在 $X$ 上的解。

对于本题中的 $Y=-2\ln X$，我们有：

$$ X = e^{-Y/2} $$

因此，

$$ g^{-1}(y) = e^{-y/2} $$

并且，

$$ \left| \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}y} g^{-1}(y) \right| = e^{-y/2}/2 $$

根据题意可得：

$$ 0 < X < 1, \quad Y=-2\ln X > 0 $$

因此，

$$ e^{-y/2} < X < 1 $$

将其代入 $f_X(x) = 1$ 得：

$$ f_Y(y) = f_X(g^{-1}(y)) \left| \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}y} g^{-1}(y) \right| = e^{-y/2}/2,\quad y>0 $$

所以当 $X\sim U(0,1)$，$Y=-2\ln X$ 时，$Y$ 的概率密度函数为：

$$ f_Y(y)=
\begin{cases}
\dfrac{e^{-\frac{y}{2}}}{2},& y>0 \\
0, & \text{其他}
\end{cases} $$