泰勒公式是什么样子的?

发布网友 发布时间:2024-10-24 13:00

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热心网友 时间:3分钟前

泰勒公式形式

泰勒公式是将一个在x=x0处具有n阶导数的函数f(x)利用关于(x-x0)的n次多项式来逼近函数的方法。

若函数f(x)在包含x0的某个闭区间[a,b]上具有n阶导数,且在开区间(a,b)上具有(n+1)阶导数,则对闭区间[a,b]上任意一点x,成立下式:

其中,表示f(x)的n阶导数,等号后的多项式称为函数f(x)在x0处的泰勒展开式,剩余的Rn(x)是泰勒公式的余项,是(x-x0)n的高阶无穷小。[1]

泰勒公式

余项

泰勒公式的余项Rn(x)可以写成以下几种不同的形式:

1、佩亚诺(Peano)余项:

这里只需要n阶导数存在。

2、施勒米尔希-罗什(Schlomilch-Roche)余项:

其中θ∈(0,1),p为任意正实数。(注意到p=n+1与p=1分别对应拉格朗日余项与柯西余项)[2]

3、拉格朗日(Lagrange)余项:

其中θ∈(0,1)。

4、柯西(Cauchy)余项:

其中θ∈(0,1)。

5、积分余项:

其中以上诸多余项事实上很多是等价的。[2]

带佩亚诺余项

以下列举一些常用函数的泰勒公式[1]:

热心网友 时间:7分钟前

泰勒公式(Taylor's Theorem)是数学分析中一个非常重要的概念,它提供了一种将复杂的函数用多项式来近似表示的方法。泰勒公式可以写成以下形式:
\[ f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \frac{f'''(a)}{3!}(x-a)^3 + \cdots + \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n + R_n(x) \]
其中,
- \( f(x) \) 是需要被展开的函数。
- \( a \) 是函数 \( f(x) \) 的一个已知点,称为“展开点”。
- \( f^{(n)}(a) \) 是函数 \( f(x) \) 在点 \( a \) 的 \( n \) 阶导数。
- \( n! \) 是 \( n \) 的阶乘,即 \( n \times (n-1) \times (n-2) \times \cdots \times 2 \times 1 \)。
- \( R_n(x) \) 是余项(Remainder),表示用泰勒级数表示 \( f(x) \) 时与真实值之间的误差。
泰勒公式表明,如果函数 \( f(x) \) 在点 \( a \) 的 \( n \) 阶导数都存在,并且在 \( n \) 阶收敛的区间内,那么这个函数可以用泰勒级数在点 \( a \) 展开,并且这个展开在
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