...垛第一层有1个小球,第二层有3个小球,第三层有6个小球,第四层有10...

发布网友 发布时间：2024-10-24 02:29

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第一层：1；第二层：3；第三层：6；第四层：10；第五层：15
规律：第一层：1；第二层：1+2=3；第三层：1+2+3=6；第四层：1+2+3+4=10；第五层：1+2+3+4+5=15
根据等差数列公式：Sn=(a1+an)×n/2
第100层小球个数：1+2+3+……+100=(1+100)×100/2=5050
100层共有小球个数：1+(1+2)+(1+2+3)+(1+2+3+4)+……+(1+2+3+……+100)=1×(1+1)/2+2×(2+1)/2+3×(3+1)/2+……+100×(100+1)/2=1/2×[(1+1²)+(2+2²)+(3+3²)+……+(100+100²)]=1/2×[(1+2+3+……+100)+(1²+2²+3²+……+100²)]=100×(100+1)×(100+2)/6=171700
证明过程：
根据(n+1)³=n³+3n²+3n+1，得
(n+1)³-n³=3n²+3n+1,
n³-(n-1)³=3(n-1)²+3(n-1)+1
..............................
3³-2³=3×2²+3×2+1
2³-1³=3×1²+3×1+1.
把这n个等式两端分别相加，得：
(n+1)³-1=3(1²+2²+3²+....+n²)+3(1+2+3+...+n)+n×1
n³+3n²+3n+1 -1-n=3(1²+2²+3²+....+n²)+3(1+2+3+...+n)
(n³+3n²+2n)/3=(1²+2²+3²+....+n²)+(1+2+3+...+n)
(1²+2²+3²+....+n²)+(1+2+3+...+n)=n(n+1)(n+2)/3