在三角形ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,已知向量m=(2b-c) 向量n=...

发布网友 发布时间：2024-10-24 02:52

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在三角形ABC中，角A.B.C的对边分别为a.b.c,
已知向量M=(cos3A/2，sin3A/2) N=(cosA/2，sinA/2) 且满足｜M+N｜=√3
（1）求∠A的大小
（2）若b+c=√3a，试判断三角形ABC的形状

解：
(1)向量M+向量N=(cos3A/2+cosA/2，sin3A/2+sinA/2)
｜M+N｜²
=(cos3A/2+cosA/2)²+(sin3A/2+sinA/2)²
=cos²3A/2+2cos3A/2cosA/2+cos²A/2+sin²3A/2+2sin3A/2sinA/2+sin²A/2
=(cos²3A/2+sin²3A/2)+(cos²A/2+sin²A/2)+2(cos3A/2cosA/2+sin3A/2sinA/2)
=1+1+2cos(3A/2-A/2)
=2+2cosA
=3
cosA=1/2
A=π/3

(2)b+c=√3a
(b+c)²=3a²
a²=(b+c)²/3
而cosA=(b²+c²-a²)/2bc
=[b²+c²-(b+c)²/3]/2bc
=[3b²+3c²-(b+c)²]/6bc
=[3b²+3c²-(b²+2bc+c²)]/6bc
=(2b²-2bc+2c²)/6bc
=1/2
2b²-2bc+2c²=3bc
2b²-5bc+2c²=0
(b-2c)(2b-c)=0
b=2c 或 b=c/2
当b=2c时，a²=(b+c)²/3=(2c+c)²/3=3c²
a²+c²=3c²+c²=4c²=b²
△ABC是以∠C为直角的直角三角形
当b=c/2时，a²=(b+c)²/3=(c/2+c)²/3=3c²/4
a²+b²=3c²/4+c/4²=c²
△ABC是以∠B为直角的直角三角形
终上所述：△ABC是直角三角形

热心网友 时间：3分钟前

a

热心网友 时间：4分钟前

孙大圣