...2x+2,对于满足1<x<4的一切x值,都有f(x)>0,求实数a的取值范

发布网友 发布时间：2024-10-24 02:22

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热心网友 时间：1分钟前

解：a=0显然满足函数f(x)=ax²-2x+2，对于满足1＜x＜4的一切x值，不是都有f(x)＞0；
若a≠0，则函数f(x)=ax²-2x+2是二次函数，对称轴方程是x=1/a；
当a<0时函数f(x)在区间(1,4）上是减函数，要使函数f(x)=ax²-2x+2，对于满足1＜x＜4的一切x值，都有f(x)＞0，应有：f(4)=16a-6>0, a<0显然不满足；
当0<a≦1/4时，函数f(x)在区间(1,4）上是减函数，要使函数f(x)=ax²-2x+2，对于满足1＜x＜4的一切x值，都有f(x)＞0，应有：f(4)=16a-6>0,解得：a>3/8,与0<a≦1/4矛盾；
当a≧1时，函数f(x)在区间(1,4）上是增函数，要使函数f(x)=ax²-2x+2，对于满足1＜x＜4的一切x值，都有f(x)＞0，应有：f(1)=a>0，a≧1显然满足；
当1/4<a<1时，要使函数f(x)=ax²-2x+2，对于满足1＜x＜4的一切x值，都有f(x)＞0，只需其最小值
f(1/a)>0即可，即：1/a-2/a+2>0,1/a<2,a>1/2,又1/4<a<1，故：1/2<a<1;
综上知：实数a的取值范围是：a>1/2