若a>0,b>0,设A=(a+b)/2,G=√ab,H=2/(1/a+1/b),D=√ (a^2+b^2)/2...
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发布时间：2024-10-24 02:39
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时间：2天前
解,D≥A≥G≥H
先证D≥A
由于a²+b²≥2ab
即2（a²+b²）≥a²+b²+2ab
即2（a²+b²）≥（a+b）²
即（a²+b²）/2≥（a+b）²/4
开平方得
√（a²+b²）/2≥√（a+b）²/4
即√（a²+b²）/2≥（a+b）/2
即D≥A
再证A≥G
a+b≥2√ab
即（a+b）/2≥√ab
即A≥G
最后证G≥H
由√ab-2/(1/a+1/b)
=√ab-2ab/(a+b)
=√ab[1-2√ab/（a+b）]
=√ab[(a+b)/（a+b）-2√ab/（a+b）]
=[√ab/（a+b）][(a+b-2√ab)]
=[√ab/（a+b）][(√a-√b)²]
=[√ab/（a+b）](√a-√b)²
≥0
即G≥H
综上知D≥A≥G≥H。
