有界函数fx在开区间(a , 无穷)可导,为什么能推出fx/x的极限为0..._百...

发布网友 发布时间：2024-10-24 17:27

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热心网友 时间：2024-11-11 23:32

1. 若函数f(x)在开区间(a, ∞)内可导，则说明f(x)在该区间内存在极限，且极限为f(x)在该区间的值。
2. 由于f(x)是有界函数，这意味着对于任意的正数M，存在一个正数δ，当x > a + δ时，有|f(x)| ≤ M。
3. 考虑函数f(x)/x，当x趋向于无穷大时，由于x为正数，根据夹逼定理，f(x)/x的极限将由f(x)的极限与x的极限共同决定。
4. 由于x趋向于无穷大，根据极限的性质，x的极限为无穷大，因此f(x)/x的极限将由f(x)的极限决定。
5. 由f(x)的有界性，我们知道f(x)的极限不会是无穷大，也不会是无穷小（因为f(x)有界），所以f(x)/x的极限必然为0。
6. 综上所述，如果函数f(x)在开区间(a, ∞)内可导并且是有界函数，那么f(x)/x当x趋向于无穷大时的极限为0。